طريقة التكرار بسيط لنظم المعادلات الخطية حل (سلوف)

طريقة بسيطة التكرار، وتسمى أيضا طريقة تقريب المتعاقبة، - خوارزمية رياضية لإيجاد قيم قيمة غير معروفة من خلال تدريجي توضيح ذلك. جوهر هذه الطريقة غير ذلك، كما يوحي الاسم، فإن تدريجيا إبداء الأولي تقريب اللاحقة منها، أصبحت أكثر دقة النتائج. وتستخدم هذه الطريقة للعثور على قيمة المتغير في وظيفة معينة، ونظم حل المعادلات، على حد سواء الخطية وغير الخطية.

دعونا نرى كيف يتم تنفيذ هذه الطريقة في حل النظم الخطية. نقطة ثابتة التكرار الخوارزمية هي كما يلي:

1. التحقق من شروط التقارب في المصفوفة الأولى. A نظرية التقارب: إذا كانت مصفوفة النظام الأصلي هو المهيمن قطريا (أي يجب أن يكون كل صف من عناصر قطري الرئيسي أكبر في الحجم من مجموع الأقطار جانب عناصر في القيمة المطلقة)، وطريقة التكرار بسيطة - متقاربة.

2. مصفوفة من النظام الأصلي ليست دائما غلبة قطري. في مثل هذه الحالات، يمكن للنظام أن تتحول. المعادلات التي تلبي حالة التقارب وتركت سليمة، مع غير مرضية وجعل التركيبات الخطية، أي ضرب وطرح والمعادلة مطوية معا لإنتاج النتيجة المرجوة.

إذا كان النظام حصلت على قطري الرئيسية هي عوامل غير مريح، ثم لكلا الجانبين من هذه المعادلة تضاف لشروط شكل _أنا * س _ط، والتي ينبغي أن يتزامن مع علامات علامات العناصر قطري.

3. تحويل الناتجة النظام إلى وضعها الطبيعي رأي:

^{س - = β - + α *} س -

ويمكن أن يتم ذلك بطرق عديدة، على سبيل المثال، على النحو التالي: المعادلة الأولى للتعبير عن × ₁ من خلال المجهول الآخر من vtorogo- × _2، س ₃ من tretego- الخ وبالتالي نحن نستخدم المعادلة التالية:

_{α ط = - (أ ط /} وب)

_ط = ب _ط / أ _ب
تأكد مرة أخرى أن النظام الناتج من النوع العادي يتوافق مع حالة التقارب:

Σ (ي = 1) | α _ط | ≤ 1، وأنا = 1،2، ... ن

4. بيغن المستخدمة، في الواقع، وطريقة تقريبية المتعاقبة.

س ⁽⁰⁾ - التقريب الأولي، فإننا نعرب عن therethrough العاشر ^(1)، يليه س ⁽¹⁾ × السريع ^(2). الصيغة العامة لشكل مصفوفة على النحو التالي:

س ^{(ن) = β - + α} * س (ن- ¹⁾

نحن حساب، حتى نصل إلى الدقة المطلوبة:

_{ماكس | خ ط (ك) -x} ط (ك + 1) ≤ ε

لذلك، دعونا ننظر في الممارسة العملية، وطريقة التكرار بسيط. على سبيل المثال:
حل النظم الخطية:

4،5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 مع دقة ε = 10 ^-3

انظر تسود إذا كانت العناصر قطري وحدة.

ونحن نرى أن حالة التقارب اقتنعت بمعادلة الثالثة. الأولى والثانية غيرت المعادلة الأولى نضيف هما:

7،6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

طرح من ثالث واحد:

-2،7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

لقد حولت النظام الأصلي في ما يعادل:

7،6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2،7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

الآن نحن لحد من نظام إلى وضعها الطبيعي رأي:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
X2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

نحن الاختيار تقارب متكررة العملية:

0،0789 + 0،3158 = 0،3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383+ 0.5319 = 0.9149 ≤ 1، أي تحقق الشرط.

0.3947
الأولي تقريب س ⁽⁰⁾ = 0.4762
0.8511

استبدال هذه القيم في المعادلة من النوع العادي، ونحن الحصول على القيم التالية:

0.08835
س ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

قيم جديدة بديلة، نحصل على:

0.215243
س ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

نستمر في حساب حتى حتى تحصل أقرب إلى القيم التي تفي بالشروط المحددة.

0.18813

س ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

س ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

تحقق من صحة النتائج:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3،1 * 0،1880 + 2،3 * 0،441-1.1x * 0544 = 0،9987
1.8 * 2.5 * 0.1880 + 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال القيم التي تم الحصول عليها في المعادلة الأصلية، يرضي تماما المعادلة.

وكما نرى، فإن طريقة التكرار بسيط يعطي نتائج دقيقة إلى حد ما، ولكن من أجل حل هذه المعادلة، كان علينا أن تنفق الكثير من الوقت والقيام بعمليات حسابية معقدة.