متوالية هندسية وخصائصه

متوالية هندسية مهم في الرياضيات كعلم، وأهمية تطبيقها، نظرا لما له من نطاق واسع للغاية، حتى في الرياضيات العليا، على سبيل المثال، في نظرية السلسلة. وجاءت هذه المعلومات الأولى عن التقدم إلينا من مصر القديمة، ولا سيما في شكل مشكلة معروفة من ورق البردي Rhind سبعة أشخاص مع سبع قطط. تكررت الاختلافات في هذه المهمة عدة مرات في أوقات مختلفة من دول أخرى. حتى فيليكي ليوناردو Pizansky، والمعروفة باسم فيبوناتشي (XIII ج.)، وتحدث لها في كتابه "كتاب العداد".

بحيث متوالية هندسية لديها تاريخ عريق. وهو يمثل التسلسل الرقمي مع أول عضو صفرية، ولكل اللاحقة، بدءا من الثانية يتم تحديد بضرب الصيغة تكرار السابقة في عدد ثابت، غير صفرية الذي يسمى القاسم التقدم (عادة المعينة باستخدام حرف ف).
من الواضح، ويمكن العثور عليها من خلال تقسيم كل فصل دراسي لاحق من التسلسل إلى السابق، أي ض 2: ض 1 = ... = الزنك: ض ن 1 = .... ونتيجة لذلك، بالنسبة لمعظم التقدم وظيفة (الزنك) يكفي أنه يعرف قيمة الفصل الدراسي الأول من القاسم وذ 1 س.

على سبيل المثال، دعونا ض 1 = 7، س = - 4 (ف <0)، ثم متوالية هندسية التالية يتم الحصول 7-28، 112-448، .... كما ترون، وتسلسل مما أدى ليست رتيبة.

يذكر أن تسلسل التعسفي من رتابة (زيادة / خفض) عند واحد من أعضائها اتباع أكثر / أقل من سابقتها. على سبيل المثال، تسلسل 2، 5، 9، ...، و-10، -100، -1000، ... - الصوت الرتيب، ثانية واحدة - لخفض متوالية هندسية.

في حالة حيث q = 1، تم العثور على جميع أعضاء أن يكون، ويطلق عليها تطور مستمر.

وكان تسلسل تطور هذا النوع، يجب أن تستوفي الشرط الضروري والكافي التالية، وهي: بدءا من الثانية، يجب أن يكون كل عضو من أعضائه المتوسط الهندسي للأعضاء المجاورة.

تسمح هذه الخاصية تحت معين اثنين المجاور لتقصي تطور مصطلح التعسفي.

ن ال المدى أضعافا مضاعفة وجدت بسهولة عن طريق الصيغة: الزنك = ض 1 * س ^ (ن 1)، ض معرفة أول عضو (1) وف القاسم.

منذ رقم التسلسل لديه مبلغ، ثم بعض العمليات الحسابية البسيطة تعطينا صيغة لحساب مجموع تطور أول من الأعضاء، وهي:

S ن = - (الزنك * س - ي 1) / (1 - ف).

استبدال، في صيغته قيمة التعبير الزنك ض 1 * س ^ (ن 1) للحصول على صيغة مبلغ الثانية من تطور: S ن = - Z1 * (ف ^ ن - 1) / (1 - ف).

يستحق من اهتمام حقيقة مثيرة للاهتمام التالية: قرص الطين وجدت في حفريات بابل القديمة، و التي تشير إلى السادس. BC، يحتوي على الطريقة الرائعة مجموع 1 + 2 + ... + 22 + 29 تساوي 2 إلى ناقص القوة العاشرة 1. تفسير هذه الظاهرة لم يتم العثور عليها.

ونلاحظ واحدة من خصائص متوالية هندسية - العمل المستمر لأعضائها، متباعدة على مسافات متساوية من أقاصي التسلسل.

أهمية خاصة من الناحية العلمية، شيء من هذا القبيل باعتبارها متوالية هندسية لانهائية واحتساب قيمته. على افتراض أن (YN) - متوالية هندسية وجود ف القاسم، تلبية الشرط | ف | <1، قيمته سيحال إلى الحد الأقصى نحو الذي نعرفه مجموع أول أعضائها، مع زيادة غير محدود من ن، ثم يكون في ذلك تقترب اللانهاية.

العثور على هذا المبلغ نتيجة استخدام الصيغة التالية:

S ن = ذ 1 / (1- ف).

و، كما أثبتت التجربة، لبساطة واضحة من هذا التقدم يتم إخفاء إمكانية تطبيق ضخمة. على سبيل المثال، إذا كان لنا أن بناء سلسلة من الساحات وفقا لخوارزمية التالية، وربط نقاط المنتصف من سابقتها، ثم أنها تشكل متوالية هندسية لا نهائية مربع وجود القاسم 1/2. شكل تطور نفسها و منطقة المثلثات، الحصول على كل مرحلة من مراحل البناء، ومبلغ لها تساوي مساحة المربع الأصلي.