نظرية الاحتمال. احتمال الحدث، أحداث عشوائية (نظرية الاحتمالات). الأحداث المستقلة وغير المتوافقة في نظرية الاحتمالات

ومن غير المرجح أن العديد من الناس يعتقدون أنه من الممكن الاعتماد الأحداث، التي إلى حد ما عرضي. لوضعها في كلمات بسيطة، هل هو واقعي لمعرفة أي جانب من المكعب في النرد ستقع في المرة القادمة. وكان هذا السؤال الذي طرحه اثنين من العلماء عظيم، وضعت الأساس لهذا العلم، نظرية الاحتمالات، واحتمال الحدث فيها درس على نطاق واسع بما فيه الكفاية.

جيل

إذا حاولت تعريف مفهوم مثل نظرية الاحتمالات، وحصلنا على ما يلي: هذا هو واحد من فروع الرياضيات الذي يدرس ثبات الأحداث العشوائية. ومن الواضح أن هذا المفهوم حقا لا تكشف جوهر، لذلك تحتاج إلى النظر في مزيد من التفاصيل.

أود أن أبدأ مع مؤسسي النظرية. كما ذكر أعلاه، كان هناك اثنان، أن لكل FERMA و بليز باسكال. كانوا أول محاولة استخدام الصيغ والعمليات الحسابية لحساب نتائج هذا الحدث. بشكل عام، وأساسيات هذا العلم، بل هو في العصور الوسطى. بينما مختلف المفكرين والعلماء حاولوا تحليل ألعاب الكازينو مثل الروليت، الفضلات، وهلم جرا، وبالتالي لتأسيس نمط، وفقدان نسبة من عدد. وقد وضعت الأساس أيضا في القرن السابع عشر كان العلماء المذكور.

في البداية، لا يمكن أن يعزى عملهم إلى إنجازات كبيرة في هذا المجال، بعد كل شيء، ما فعلوه، كانوا ببساطة كانت الحقائق التجريبية والتجارب بشكل واضح دون استخدام الصيغ. مع مرور الوقت، اتضح لتحقيق نتائج عظيمة، والتي ظهرت نتيجة للمراقبة المدلى بها من العظام. وساعد هذا الصك لتقديم صيغة متميزة الأولى.

أنصار

ناهيك عن مثل هذا الرجل كما كريستيان هيغنز، في عملية دراسة هذا الموضوع الذي يحمل اسم "نظرية الاحتمالات" (احتمال الحدث يسلط الضوء عليه في هذا العلم). هذا الشخص هو مثيرة جدا للاهتمام. وحاول هو، وكذلك العلماء الواردة أعلاه في شكل معادلات رياضية للاستدلال على وجود نمط من الأحداث العشوائية. ومن الجدير بالذكر أنه لا تقاسمها مع باسكال وفيرما، وهذا هو كل ما قدمه من العمل لا تتداخل مع تلك العقول. المستمدة هيغنز المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.

حقيقة مثيرة للاهتمام هو أن عمله جاء قبل فترة طويلة من نتائج أعمال الرواد، على وجه الدقة، في وقت سابق من عشرين عاما. لا يوجد سوى بين المفاهيم التي تم تحديدها:

• كما مفهوم القيم احتمال فرصة.
• التوقع لحالة منفصلة.
• النظريات الجمع والضرب من الاحتمالات.

أيضا، لا يمكن أن ننسى Yakoba Bernulli، الذي ساهم أيضا في دراسة هذه المشكلة. من خلال خاصة بهم، لا أحد منهم هي اختبارات مستقلة، وقال انه كان قادرا على تقديم دليل على قانون الأعداد الكبيرة. في المقابل، العلماء بواسون ولابلاس، الذين عملوا في أوائل القرن التاسع عشر، كانت قادرة على إثبات نظرية الأصلية. من تلك اللحظة لتحليل الأخطاء في هذه الملاحظات بدأنا باستخدام نظرية الاحتمالات. الحزب حول هذا العلم لم يستطع الروس والعلماء، بدلا ماركوف، تشيبيشيف وDyapunov. وهي تستند إلى العمل المنجز العباقرة كبيرة، المضمون موضوع كفرع من الرياضيات. لقد عملنا هذه الأرقام في نهاية القرن التاسع عشر، وذلك بفضل مساهمتها، وقد ثبت ظواهر مثل:

• قانون الأعداد الكبيرة.
• نظرية سلاسل ماركوف.
• نظرية النهاية المركزية.

لذلك، فإن تاريخ ولادة العلم ومع الشخصيات الرئيسية التي ساهمت في ذلك، كل شيء هو أكثر أو أقل وضوحا. الآن حان الوقت لتجسيد كل الحقائق.

المفاهيم الأساسية

قبل أن تلمس القوانين والنظريات يجب أن يتعلم المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. حدث ذلك تحتل دورا مهيمنا. هذا الموضوع هو واسعة إلى حد ما، ولكن لن يكون قادرا على فهم كل ما تبقى من دونها.

حدث في نظرية الاحتمالات - هو أي مجموعة من نتائج التجربة. مفاهيم هذه الظاهرة لم يكن هناك ما يكفي. وهكذا، Lotman عالم العاملة في هذا المجال، وأعرب أنه في هذه الحالة نحن نتحدث عن ما "حدث، على الرغم من أنه لا يمكن أن يحدث."

الأحداث العشوائية (نظرية الاحتمالات تولي اهتماما خاصا لهم) - هو المفهوم الذي ينطوي على الإطلاق أي ظاهرة وجود إمكانية للتحدث. أو، على العكس من ذلك، وهذا السيناريو لا يمكن أن يحدث في أداء مجموعة متنوعة من الظروف. وتجدر الإشارة أيضا مع العلم أن تشغل وحدة التخزين بالكامل من الظواهر التي تحدث الأحداث فقط عشوائية. وتقترح نظرية الاحتمالات أن كل الظروف يمكن أن تتكرر باستمرار. فمن كان يطلق سلوكهم "تجربة" أو "اختبار".

حدث هام - وهذا هو الظاهرة التي هي واحدة مئة في المئة في هذا الاختبار يحدث. وفقا لذلك، الحدث المستحيل - وهذا هو الشيء الذي لم يحدث.

الجمع بين أزواج العمل (تقليديا حالة A و B حالة) هي الظاهرة التي تحدث في وقت واحد. ويشار إليها باسم AB.

كمية من أزواج من الأحداث A و B - C هو، وبعبارة أخرى، إذا كان أحد منهم على الأقل سوف (A أو B)، وتحصل على C. الصيغة هو مكتوب ظاهرة وصفها بأنها C = A + B.

التطورات غير متوافقة في نظرية الاحتمال يعني أن الحالتين يستبعد بعضها بعضا. في الوقت نفسه أنها على أي حال لا يمكن أن يحدث. أحداث مشتركة في نظرية الاحتمالات - هو نقيض لها. وهذا يعني أنه إذا كان حدث، فإنه لا يمنع C.

معارضة الحدث (تعتبر نظرية الاحتمالات لهم بقدر كبير من التفصيل)، من السهل أن نفهم. فمن الأفضل للتعامل معهم في المقارنة. هم تقريبا نفس التطورات كما تتعارض في نظرية الاحتمال. ومع ذلك، هذه الفرق هي التي يجب أن تحدث واحد من عدد وافر من الظواهر في أي حال.

الأحداث المحتملة على قدم المساواة - تلك الأعمال، وإمكانية تكرار تساوي. أن يكون واضحا، يمكنك أن تتخيل القذف عملة: فقدان أحد جانبيها هي خسارة محتملة بالتساوي الأخرى.

فمن الأسهل للنظر في مثال صالح الحدث. لنفترض أن هناك حلقة في حلقة وA. الأول - لفافة من يموت مع ظهور عدد فردي، والثاني - ظهور عدد خمسة على النرد. ثم اتضح أن (أ) هو المفضل V.

الأحداث مستقلة من المتوقع في نظرية الاحتمالات فقط على اثنين أو أكثر من المناسبات وتنطوي مستقلة عن أي عمل من جهة أخرى. على سبيل المثال، A - في فقدان ذيول عملة القذف، وB - جاك dostavanie من سطح السفينة. لديهم الأحداث المستقلة في نظرية الاحتمالات. من هذه اللحظة أصبح واضحا.

الأحداث التابعة في نظرية الاحتمالات هي أيضا المسموح بها فقط لمجموعتهم. أنها تنطوي على الاعتماد من واحد على الآخر، وهذا هو، يمكن أن تحدث هذه الظاهرة في فقط في حالة عندما وقعت بالفعل، أو على العكس من ذلك، لم يحدث عندما يكون - الشرط الرئيسي لB.

نتائج التجربة عشوائية مكونة من مكون واحد - إنها أحداث الابتدائية. وتقول نظرية الاحتمالات أنه هو ظاهرة التي تتم مرة واحدة فقط.

الصيغة الأساسية

وهكذا، واعتبرت ما ورد أعلاه مفهوم "الحدث"، "نظرية الاحتمالات"، أعطيت أيضا تعريفات للمصطلحات الأساسية لهذا العلم. الآن حان الوقت لتعريف نفسه مع الصيغ الهامة. وأكد هذه التعبيرات رياضيا جميع المفاهيم الرئيسية في هذا الموضوع الصعب باسم نظرية الاحتمال. احتمال وقوع الحدث، ويلعب دورا كبيرا.

من الأفضل أن تبدأ مع الصيغ الأساسية للالتوافقية. وقبل البدء بها، فإنه يجدر النظر في ما هو عليه.

التوافقية - هو في المقام الأول فرع من فروع الرياضيات، وقال انه تم دراسة عدد كبير من الأعداد الصحيحة، والتباديل المختلفة لكل من الأرقام وعناصرها، البيانات المختلفة، وما إلى ذلك، مما أدى إلى عدد من مجموعات ... بالإضافة إلى نظرية الاحتمالات، وهذه الصناعة هي مهمة للإحصاء وعلوم الحاسب والتشفير.

حتى الآن يمكنك الانتقال إلى تقديم أنفسهم وصيغ تعريف بهم.

وأول هذه العناصر هو تعبير عن عدد التباديل، هو كما يلي:

P_n = ن ⋅ (ن - 1) ⋅ (ن - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = ن!

تنطبق المعادلة فقط في حالة إذا كانت العناصر تختلف فقط في ترتيب الترتيب.

الآن صيغة التنسيب، ويبدو ان هذا سيتم النظر فيها:

A_n ^ م = ن ⋅ (ن - 1) ⋅ (ن 2) ⋅ ⋅ ... (ن - م + 1) = ن! : (N - م)!

هذا التعبير ينطبق ليس فقط على العنصر الوحيد الذي وضع النظام، ولكن أيضا لتكوينها.

المعادلة الثالثة من التوافقية، وأنه هو الأخير، ودعا صيغة لعدد المجموعات:

C_n ^ م = ن! : ((N - م))! : M!

مجموعة تسمى أخذ العينات، والتي لا يتم ترتيب، على التوالي، وتطبق هذه القاعدة.

مع صيغ التوافقية جاءت لفهم بسهولة، يمكنك الآن الذهاب إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمال. يبدو هذا التعبير على النحو التالي:

P (A) = م: ن.

في هذه الصيغة، م - هو عدد الظروف المؤدية إلى الحدث A، و n - عدد من الأحداث الابتدائية على قدم المساواة وبشكل كامل جميع.

هناك العديد من التعبيرات في المادة لن يتم النظر في أي شيء ولكن المتضررين سيكون أهمها مثل، على سبيل المثال، فإن احتمال الأحداث المقادير:

P (A + B) = P (A) + P (B) - هذه نظرية لإضافة فقط أحداث متنافية.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ولكن هذه ليست سوى لإضافة متوافقة.

احتمال يعمل الحدث:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - هذه نظرية لأحداث مستقلة؛

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A)؛ P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - وهذه لتعتمد.

قائمة العضوية صيغة الأحداث. نظرية الاحتمالات تخبرنا نظرية بايز، والتي تبدو مثل هذا:

P (H_M | A) = (P (H_M) P (A | H_M)): (Σ_ (ك = 1) ^ ن P (H_k) P (A | H_k))، ط = 1، ...، ن

في هذه الصيغة، H _1، H _2، ...، H _ن - هو مجموعة كاملة من الفرضيات.

في هذه المحطة، والآن يعتبر طلب عينات الصيغ لأداء مهام محددة من الممارسة.

أمثلة

إذا كنت تدرس بعناية أي فرع من فروع الرياضيات، فإنه لا يخلو من التمارين والحلول العينة. ونظرية الاحتمالات: أحداث، والأمثلة هنا هي جزء لا يتجزأ من تأكيد الحسابات العلمية.

الصيغة لعدد التباديل

على سبيل المثال، في سطح البطاقة ديك ثلاثين بطاقات، بدءا من واحد رمزي. السؤال التالي. كيف العديد من الطرق لأضعاف سطح السفينة حتى يتسنى للبطاقات بقيمة اسمية واحد واثنين من لم تقع بعد ذلك؟

تم تعيين المهمة، الآن دعنا ننتقل للتعامل معها. تحتاج أولا إلى تحديد عدد التباديل من ثلاثين عنصرا، لهذا الغرض نأخذ الصيغة أعلاه، فإنه يتحول P_30 = 30!.

واستنادا إلى هذه القاعدة، ونحن نعلم كم خيارات هناك لوضع سطح السفينة في نواح كثيرة، ولكن يجب علينا أن تخصم منها هي تلك التي سوف البطاقة الأولى والثانية ستكون المقبل. للقيام بذلك، وتبدأ مع البديل، عندما يقع لأول مرة في الثاني. وتبين أن أول خريطة قد تستغرق تسعة وعشرين الأماكن - من أول من التاسعة والعشرين، والبطاقة الثانية من المجموعة الثانية لوالثلاثين، يتحول تسعة وعشرون مقعدا للأزواج من البطاقات. في المقابل، يمكن للآخرين أن تأخذ ثمانية وعشرين مقعدا، وفي أي أمر. وهذا هو، لإعادة ترتيب الأوراق ثمانية وعشرين وثمانية وعشرين خيارات P_28 = 28!

والنتيجة هي أنه إذا نظرنا إلى قرار، وعندما البطاقة الأولى على فرصة اضافية الثانية للحصول على 29 ⋅ 28! = 29!

باستخدام نفس الأسلوب، تحتاج لحساب عدد من الخيارات زائدة عن الحال عندما يقع البطاقة الأولى تحت الثانية. حصل على 29 ⋅ 28! = 29!

ويستنتج من ذلك أن خيارات إضافية 2 ⋅ 29!، في حين أن الوسائل اللازمة لجمع سطح السفينة 30! - 2 ⋅ 29!. يبقى فقط أن حساب.

30! = 29! ⋅ 30؛ 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

ونحن الآن بحاجة إلى مضاعفة معا كل الأرقام 1-29، ثم في نهاية كل مضروبا 28. الجواب حصلت 2،4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

أمثلة من الحلول. الصيغة لعدد من الإقامة

في هذه المشكلة، تحتاج إلى معرفة كيف أن هناك العديد من الطرق لوضع كميات خمسة عشر على الرف، ولكن بشرط أن كميات فقط الثلاثين.

في هذه المهمة، فإن القرار أسهل قليلا من السابق. باستخدام الصيغة معروفة، فمن الضروري لحساب عدد من ثلاثين موقعا خمسة عشر مجلدا.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ ⋅ 29 ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ ⋅ ... = 202 843 16 204 931 360 000 727

ردا على ذلك، على التوالي، سيكون مساويا إلى 202 843 204 931 727 360 000.

الآن اتخاذ المهمة أكثر صعوبة بعض الشيء. عليك أن تعرف كيف أن هناك العديد من الطرق لترتيب اثنين وثلاثين الكتب على الرفوف، بشرط أن أحجام التداول فقط خمسة عشر يمكن أن تتواجد على نفس الرف.

قبل بداية قرار أود أن أوضح أن بعض المشاكل يمكن حلها بطرق عديدة، وفي هذا هناك طريقتان، ولكن في ويطبق على حد سواء واحد ونفس الصيغة.

في هذه المهمة، يمكنك أن تأخذ الجواب من سابقتها، لأن هناك قمنا بحساب عدد المرات التي يمكن ملء الرف لخمسة عشر كتابا بطرق مختلفة. وتبين A_30 ^ 15 = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ ⋅ ... (30-15 + 1) = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ ⋅ ... 16.

الفوج الثاني وتحسب على أساس صيغة التعديل، لأنه يتم وضع خمسة عشر كتابا، في حين أن ما تبقى من خمسة عشر عاما. نحن نستخدم صيغة P_15 = 15!.

اتضح أن المبلغ سوف A_30 ^ 15 ⋅ P_15 الطرق، ولكن بالإضافة إلى ذلك، ستتضاعف المنتج من جميع الأرقام 30-16 من قبل المنتج من الأرقام 1-15، في النهاية تتحول المنتج من جميع الأرقام 1-30، وهذا هو الجواب 30!

ولكن هذه المشكلة يمكن حلها بطريقة مختلفة - أسهل. للقيام بذلك، يمكنك أن تتخيل أن هناك رف واحد لمدة ثلاثين كتابا. يتم وضع كل منهم على متن هذه الطائرة، ولكن لأن الشرط يتطلب أن هناك اثنين من الرفوف، واحدة طويلة نحن نشر في نصف، لفتين خمسة عشر. من هذا يتبين أن لهذا الترتيب يمكن أن يكون P_30 = 30!.

أمثلة من الحلول. الصيغة لعدد من مجموعات من

الذي يعتبر البديل للمشكلة الثالثة من التوافقية. عليك أن تعرف كيف أن العديد من الطرق هناك لترتيب خمسة عشر كتابا بشرط أن عليك ان تختار من ثلاثين نفسه بالضبط.

وللإطلاع على القرار وبطبيعة الحال، تطبيق صيغة لعدد من التشكيلات. من هذه الحالة التي يصبح من الواضح أن النظام من نفس خمسة عشر كتابا ليس مهما. لذلك في البداية كنت بحاجة لمعرفة العدد الإجمالي من مجموعات من ثلاثين خمسة عشر كتابا.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

هذا كل شيء. باستخدام هذه الصيغة، في أقصر وقت ممكن لحل هذه المشكلة، والجواب على التوالي، أي ما يعادل 155117520.

أمثلة من الحلول. التعريف التقليدي للاحتمال

باستخدام الصيغة الواردة أعلاه، يمكن للمرء أن يجد جوابا في مهمة بسيطة. ولكن سوف نرى بوضوح ومتابعة سير العمل.

نظرا للمهمة في جرة هناك عشرة كرات متطابقة تماما. ومن بين هؤلاء، أربعة الصفراء وستة الزرقاء. مأخوذة من جرة كرة واحدة. ومن الضروري معرفة احتمال dostavaniya الأزرق.

لحل هذه المشكلة لا بد من تعيين dostavanie الحدث الكرة الزرقاء A. هذه التجربة قد يكون عشرة النتائج، والتي، بدورها، الابتدائية، ومن المرجح على حد سواء. في نفس الوقت، وستة من العشرة هي مواتية لهذا الحدث A. حل المعادلة التالية:

P (A) = 6: 10 = 0.6

وبتطبيق هذه الصيغة، تعلمنا أن القدرة على الحصول على الكرة الزرقاء هي 0.6.

حل المثال. احتمال مجموع الأحداث

الآن سيتم عرض البديل، والتي يتم حلها باستخدام صيغة احتمال مجموع الأحداث. لذلك، في حالة أنه يعطى أن هناك اثنين من صناديق، في الأولى هناك واحد رمادي و 5 كرات بيضاء، وفي الثانية - ثمانية الرمادي وأربعة كرات بيضاء. ونتيجة لذلك، أخذ واحد منهم من الصناديق الأولى والثانية. فمن الضروري معرفة ما هي فرصة أن الكرات الواردة ستكون الرمادي والأبيض.

لحل هذه المشكلة، فمن الضروري تعيين الأحداث.

• لذلك، A - أخذ الكرة الرمادية من الدرج الأول: P (A) = 1/6.
• A '- أخذت كرة بيضاء أيضا من الدرج الأول: P (A') = 5/6.
• ب - استخرج الكرة الرمادية من المربع الثاني: P (B) = 2/3.
• ب '- أخذ الكرة الرمادية من المربع الثاني: P (B') = 1/3.

وبحسب حالة المشكلة، من الضروري أن يحدث أحد الأحداث: أب 'أو A'B. باستخدام الصيغة، نحصل على: P (أب ') = 1/18، P (A'B) = 10/18.

الآن تم استخدام صيغة ضرب الاحتمال. بعد ذلك، لمعرفة الجواب، تحتاج إلى تطبيق معادلة إضافتهم:

P = P (أب '+ A'B) = P (أب') + P (A'B) = 11/18.

لذلك، باستخدام الصيغة، يمكنك حل مشاكل مماثلة.

النتيجة

وقدمت المقالة معلومات عن موضوع "نظرية الاحتمالية"، واحتمال وقوع حدث فيه يلعب دورا حاسما. بالطبع، لم يؤخذ كل شيء بعين الاعتبار، ولكن، استنادا إلى النص المقدم، يمكنك من الناحية النظرية التعرف على هذا القسم من الرياضيات. هذا العلم يمكن أن تكون مفيدة ليس فقط في الممارسة المهنية، ولكن أيضا في الحياة اليومية. مع مساعدتها، يمكنك حساب أي إمكانية لهذا الحدث.

كما تطرق النص إلى تواريخ مهمة في تاريخ ظهور نظرية الاحتمالات كعلم، وأسماء الأشخاص الذين استثمرت أعمالهم فيه. هذه هي الطريقة التي أدى الفضول البشري إلى حقيقة أن الناس قد تعلموا لحساب حتى الأحداث العشوائية. مرة واحدة أنها أصبحت مجرد مهتم في ذلك، ولكن الجميع اليوم يعرف عن ذلك. ولا أحد سيقول ما ينتظرنا في المستقبل، ما هي الاكتشافات المبتكرة الأخرى المرتبطة بالنظرية قيد النظر. ولكن شيء واحد هو بالتأكيد - البحث على الفور لا يستحق كل هذا العناء!