مضلع محدب. تعريف المضلع المحدب. أقطار مضلع محدب

هذه الأشكال الهندسية في كل مكان حولنا. المضلعات المحدبة طبيعية مثل العسل أو اصطناعية (من صنع الإنسان). وتستخدم هذه الأرقام في إنتاج أنواع مختلفة من الطلاء في الفن والعمارة، والحلي، الخ مضلع محدب لها الممتلكات التي تكمن نقطة على جانب واحد من خط مستقيم الذي يمر عبر زوج من القمم المجاورة من شكل هندسي. هناك تعاريف أخرى. ودعا المضلع المحدب، والتي يتم ترتيب في نصف طائرة واحدة، فيما يتعلق بأي خط مستقيم يحتوي على إحدى جانبيها.

مضلع محدب

في سياق الهندسة الابتدائية ودائما يعامل مضلع بسيط للغاية. لفهم خصائص الأشكال الهندسية تحتاج إلى فهم طبيعتها. لنبدأ في فهم أن مغلقة أي خط الذي ينتهي هي نفسها. وهذا الرقم شكلتها ذلك، يمكن أن يكون لها مجموعة متنوعة من التشكيلات. ويسمى مضلع متعدد الخطوط مغلقة بسيطة التي لا تقع على خط مستقيم واحد وحدات المجاور. صلاته والعقد، على التوالي، الجانبين وقمم شكل هندسي. A متعدد الخطوط بسيط يجب ألا تتقاطع نفسها.

ويطلق على رؤوس المضلع الجيران، في حالة أنهم نهايات أحد جانبيها. شكل هندسي، والتي لديها عدد ن عشر من القمم، وبالتالي عدد ن عشر للأحزاب تسمى غون N. نفسها الخط المتقطع هي الحدود أو كفاف من الرقم الهندسي. طائرة متعددة الأضلاع أو مضلع مسطح تسمى الجزء الأخير من أي طائرة، هم محدودة. ودعا الجانبين المجاورة من الرقم الهندسي شرائح متعدد الخطوط القادمة من نفس الرأس. انهم لن يكونوا جيرانا إذا كانت مبنية على القمم مختلفة من المضلع.

تعريفات أخرى للمضلع محدب

في الهندسة الابتدائية، وهناك العديد من التعاريف ما يعادلها في المعنى، مشيرا إلى ما يسمى المضلع المحدب. وعلاوة على ذلك، كل هذه التصريحات صحيحة على حد سواء. مضلع محدب هو واحد يحتوي على:

• كل قطعة التي تربط أي نقطتين في داخلها، وتقع تماما في ذلك.

• تكمن فيه كل الأقطار بها؛

• أي زاوية داخلية لا تزيد عن 180 درجة.

المضلع يقسم دائما الطائرة إلى قسمين. واحد منهم - محدود (يمكن المغلقة في دائرة)، والآخر - غير محدود. الأول يسمى المنطقة الداخلية، والثانية - المنطقة الخارجية للشكل هندسي. هذا هو تقاطع المضلع (وبعبارة أخرى - المكون الكلي) عدة طائرات نصف. وهكذا، كل قطعة لها نهايات في النقاط التي تنتمي إلى مضلع ينتمي تماما له.

أصناف من المضلعات المحدبة

لا يشير تعريف المضلع المحدب أن هناك أنواع كثيرة منها. وكل منهم لديه معايير معينة. وهكذا، فإن مضلع محدب، والتي لها زاوية داخلية من 180 درجة، ويشار إلى محدب قليلا. الشكل الهندسي المحدب الذي يحتوي على ثلاث قمم، ويسمى مثلث، أربعة - رباعي، خمسة - البنتاغون، وما إلى ذلك كل من محدب ن غونس يلبي المتطلبات الهامة التالية: .. N يجب أن تكون مساوية أو أكبر من 3. كل من مثلثات هو محدب. الشكل الهندسي من هذا النوع التي تقع كل القمم على شكل دائرة، وتسمى دائرة المدرج. ويطلق وصف مضلع محدب إذا كان كل جوانبه حول دائرة للمس لها. ودعا اثنين من المضلعات يساوي فقط في حالة عند استخدام تراكب يمكن الجمع. مضلع مسطح تسمى طائرة متعددة الأضلاع (جزء الطائرة) أن هذا الرقم الهندسي محدودة.

مضلع محدب منتظم

ودعا مضلعات منتظمة الأشكال الهندسية مع زوايا وأضلاع متساوية. داخلهم هناك نقطة 0، وهو على مسافة واحدة من كل رؤوسه. ومن دعا مركز شكل هندسي. الخطوط التي تربط المركز مع القمم من شكل هندسي ودعا apothem، وتلك التي تربط 0 نقطة مع الأطراف - نصف قطر.

المستطيل الصحيح - مربع. يسمى مثلث متساوي الاضلاع متساوي الأضلاع. لمثل هذه الأشكال وجود القاعدة التالية: كل زاوية مضلع محدب 180 درجة * (ن 2) / ن،

حيث n - عدد من القمم من شكل هندسي محدب.

يتم تحديد مساحة أي مضلع منتظم بواسطة الصيغة التالية:

S = ص * ح،

حيث p يساوي نصف مجموع كل جوانب المضلع، وح هو apothem طول.

خصائص المضلعات المحدبة

المضلعات المحدبة لها خصائص معينة. وهكذا، فإن الجزء الذي يربط أي نقطتين على شكل هندسي، وتقع بالضرورة في ذلك. البرهان:

لنفترض أن P - المضلع المحدب. خذ نقطتين التعسفي، على سبيل المثال، A و B، والتي تنتمي إلى P. بحلول التعريف الحالي للمضلع محدب، وتقع هذه النقاط في جانب واحد من الخط المستقيم الذي يحتوي أي اتجاه R. وبالتالي، لديها AB أيضا هذه الخاصية، ويرد في R. مضلع محدب دائما يمكن تقسيمها إلى عدة مثلثات تماما كل الأقطار، التي عقدت أحد رؤوسه.

زوايا الأشكال الهندسية محدبة

زوايا مضلع محدب - هي الزوايا التي يتم تشكيلها من قبل الطرفين. الزوايا الداخلية للداخلية ويوجد في المنطقة الداخلية من شكل هندسي. زاوية التي يتم تشكيلها من قبل الجانبين والتي تتلاقى في قمة الرأس، وتسمى زاوية المضلع المحدب. الزوايا المجاورة لالزوايا الداخلية للشكل هندسي، ودعا الخارجي. كل زاوية من زوايا مضلع محدب، وترتيبها في داخله، هو:

180 ° - س

حيث x - قيمة خارج الزاوية. هذه الصيغة البسيطة هي التي تنطبق على أي نوع من الأشكال الهندسية من هذا القبيل.

بشكل عام، على الزوايا الخارجية موجودة التالية القاعدة: كل زاوية مضلع محدب تساوي الفرق بين 180 درجة وقيمة الزاوية الداخلية. ويمكن أن يكون لها قيم تتراوح بين -180 درجة إلى 180 درجة. وبالتالي، عندما الزاوية الداخلية هي 120 درجة مئوية، وظهور لها قيمة 60 درجة.

مجموع زوايا مضلع محدب

تم تأسيس مجموع الزوايا الداخلية للمضلع محدب بواسطة الصيغة التالية:

180 درجة * (ن 2)،

حيث n - عدد من القمم ن-غون.

يتم احتساب مجموع زوايا المضلع المحدب بكل بساطة. النظر في مثل هذا الشكل الهندسي. لتحديد مجموع الزوايا في مضلع محدب في حاجة لتوصيل أحد رؤوسه إلى القمم الأخرى. ونتيجة لهذا العمل يتحول (ن 2) من المثلث. ومن المعروف أن مجموع زوايا المثلث هو دائما 180 درجة. لأن عددهم في أي مضلع يساوي (ن 2)، ومجموع الزوايا الداخلية من هذا الرقم يساوي 180 ° س (ن 2).

تصل زوايا المضلع المحدب، أي أي اثنين من الزوايا الداخلية والخارجية المجاورة لهم، في هذا الشكل الهندسي محدب ستكون دائما يساوي 180 درجة. على هذا الأساس، يمكننا تحديد مجموع كل أركانها:

180 × ن.

مجموع الزوايا الداخلية 180 درجة * (ن 2). وفقا لذلك، ومجموع كل الزوايا الخارجية للشخصية التي وضعتها الصيغة:

180 درجة * ن 180 ° - (ن 2) = 360 درجة.

ومجموع الزوايا الخارجية لأي مضلع محدب يكون دائما يساوي 360 درجة (بغض النظر عن عدد من جوانبه).

وتتمثل الزاوية الخارجية للمضلع محدب عموما الفرق بين 180 درجة وقيمة الزاوية الداخلية.

خصائص أخرى مضلع محدب

وبالإضافة إلى الخصائص الأساسية للبيانات الأشكال الهندسية، لديهم أيضا غيرها، والتي تحدث عند التعامل معها. وهكذا، أي من المضلعات يمكن تقسيمها إلى عدة محدب ن غونس. للقيام بذلك، والاستمرار في كل من جانبيها وقطع الشكل الهندسي على طول هذه الخطوط المستقيمة. تقسيم أي مضلع إلى عدة أجزاء محدبة من الممكن وبحيث يكون الجزء العلوي من كل من القطع تتطابق مع كل من رؤوسه. من شكل هندسي يمكن أن تكون بسيطة جدا لجعل مثلثات من خلال جميع الأقطار من قمة واحدة. وهكذا، أي مضلع، في نهاية المطاف، ويمكن تقسيمها إلى عدد معين من المثلثات، وهو أمر مفيد جدا في حل مختلف المهام المتعلقة بهذه الأشكال الهندسية.

محيط مضلع محدب

شرائح من متعدد الخطوط، والأحزاب يسمى المضلع، وكثيرا ما أشار مع الرسائل التالية: أ ب، ق، مؤتمر نزع السلاح، دي، عصام. هذا الجانب من شكل هندسي مع القمم أ، ب، ج، د، ه. ويطلق على مجموع أطوال من الجانبين من مضلع محدب محيطه.

محيط المضلع

يمكن إدخال المضلعات المحدبة وصفها. دائرة الظل الى كل جوانب شخصية هندسية، تسمى المدرج فيه. وهذا ما يسمى المضلع وصفها. دائرة المركز الذي هو منصوص عليه في المضلع هي نقطة تقاطع المنصفات من زوايا داخل شكل هندسي معين. وتبلغ مساحة المضلع تساوي:

S = ع * ص،

حيث r - نصف قطر دائرة المدرج، وص - نصف محيط هذا المضلع.

دائرة تحتوي على رؤوس المضلع، ودعا وصف بالقرب منه. وعلاوة على ذلك، ودعا هذا الرقم الهندسي محدب المدرج. مركز الدائرة، الذي يوصف حول هذا المضلع هو ما يسمى نقطة تقاطع midperpendiculars جميع الاطراف.

قطري الأشكال الهندسية محدبة

أقطار مضلع محدب - وهو الجزء الذي يربط ليس القمم المجاورة. كل واحد منهم هو داخل هذا الرقم الهندسي. عدد الأقطار من أن يتم تعيين وفقا لصيغة غون ن:

N = ن (ن - 3) / 2.

عدد الاقطار من مضلع محدب يلعب دورا هاما في الهندسة الابتدائية. عدد المثلثات (K)، الذي قد يكسر كل مضلع محدب، وتحسب على أساس الصيغة التالية:

K = ن - 2.

عدد الاقطار من مضلع محدب هو دائما يعتمد على عدد من القمم.

تقسيم مضلع محدب

في بعض الحالات، من أجل حل مهام هندسة اللازمة لكسر مضلع محدب إلى عدة مثلثات مع الأقطار غير المتقاطعة. يمكن حل هذه المشكلة عن طريق إزالة صيغة معينة.

تحديد المشكلة: دعوة الحق في نوع من تقسيم محدبة ن غون إلى عدة مثلثات من الأقطار التي تتقاطع فقط في القمم من شكل هندسي.

الحل: لنفترض أن P1، P2، P3، ...، PN - أعلى ن غون. عدد Xn ضارة - عدد أقسام لها. النظر بعناية في الناتج شكل هندسي قطري بي PN. في أي من الأقسام العادية P1 PN ينتمي إلى مثلث معين P1 بي PN، حيث 1

دعونا ط = 2 هي مجموعة من الأقسام العادية، تحتوي دائما قطري P2 PN. عدد الأقسام التي تم تضمينها في ذلك، مساو لعدد من أقسام (ن 1) -gon P2 P3 P4 ... PN. وبعبارة أخرى، فإنه يساوي Xn ضارة-1.

اذا كنت = 3، ثم أقسام المجموعة الأخرى سيحتوي دائما P3 P1 قطري وP3 PN. عدد الأقسام الصحيحة التي ترد في المجموعة، وسوف تتزامن مع عدد من أقسام (ن 2) -gon P3، P4 ... PN. وبعبارة أخرى، فإنه سيكون Xn ضارة-2.

اسمحوا ط = 4، ثم مثلثات بين القسم الصحيح لا بد أن تحتوي على مثلث P1 PN P4، والتي سوف تجاور المربعه P1 P2 P3 P4، (ن 3) -gon P5 P4 ... PN. عدد الأقسام الصحيحة هذا الرباعي يساوي X4، وعدد من أقسام (ن 3) -gon يساوي Xn ضارة-3. بناء على ما تقدم، يمكن القول أن العدد الإجمالي للأقسام العادية الموجودة في هذه المجموعة يساوي Xn ضارة-3 X4. مجموعات أخرى، حيث ط = 4، 5، 6، 7 ... سوف تحتوي على 4 Xn ضارة-X5، X6 Xn ضارة 5، Xn ضارة-6 ... X7 الأقسام العادية.

دعونا ط = ن 2، وعدد من أقسام الصحيح في مجموعة معينة سوف يتزامن مع عدد من الأقسام في المجموعة، حيث ط = 2 (وبعبارة أخرى، يساوي Xn ضارة-1).

منذ X1 = X2 = 0، X3 = 1 و X4 = 2، ...، وعدد من أقسام المضلع المحدب هو:

XN = XN-1 + XN-2 + XN-3، XN-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 XN-XN-X 4 + 3 + 2 XN-XN-1.

على سبيل المثال:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 X6 = + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 X6 + + X7 = 132

عدد الأقسام الصحيحة المتقاطعة ضمن واحدة قطري

عند فحص الحالات الفردية، يمكن افتراض أن عدد الأقطار من غون ن محدب يساوي ناتج عن أقسام من هذا النمط الرسم البياني (ن 3).

والدليل على هذا الافتراض: لنفترض أن P1n = Xn ضارة * (ن 3)، ويمكن تقسيم ثم أي ن غون إلى (ن 2) هو مثلث. في هذه الحالة واحدة منها يمكن أن تكون مكدسة (ن 3) -chetyrehugolnik. وفي الوقت نفسه، كل المربعه هي قطري. وبما أن هذا الرقم الهندسي محدب يمكن حملها اثنين من الأقطار بها، وهو ما يعني أنه في أي (ن 3) -chetyrehugolnikah قد إجراء إضافي قطري (ن 3). على هذا الأساس، يمكننا أن نستنتج أن في أي قسم السليم لديه الفرصة ل(ن 3) اجتماع -diagonali متطلبات هذه المهمة.

منطقة مضلع محدب

في كثير من الأحيان، في حل المشاكل المختلفة للهندسة الابتدائية هناك حاجة لتحديد مساحة مضلع محدب. نفترض أن (شي. يي)، ط = 1،2،3 ... ن يمثل سلسلة من إحداثيات كل القمم المجاورة المضلع، عدم وجود تقاطعات الذاتي. في هذه الحالة، يتم احتساب المنطقة من خلال الصيغة التالية:

_{S = ½ (Σ (X ط} + X ط + ₁₎ (Y _{ط +} Y _ط + _1))،

حيث (X _1، Y _{1) = (X ن +1، Y} ن + _1).