متعددات منتظم: عناصر التماثل والمنطقة

هندسة جميلة، لأنه على عكس الجبر، وهي ليست واضحة دائما لماذا وماذا كنت تعتقد، ويعطي الجسم المرئي. هذا العالم الرائع من مختلف الهيئات تزين متعددات منتظم.

معلومات عامة عن المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية

وفقا للعديد من، متعدد سطوح العادية، أو كما يطلق عليها المواد الصلبة الأفلاطونية، تمتلك خصائص فريدة من نوعها. مع هذه الكائنات إتصال عدة فرضيات علمية. عند البدء في دراسة البيانات الهندسية من الجسم، وكنت أدرك أن ما يقرب من لا يعرفون أي شيء عن هذا المفهوم باعتباره متعددات منتظم. عرض هذه الكائنات في المدرسة ليست دائما مثيرة للاهتمام، لذلك كثير حتى لا يتذكر ما كانت تسمى. في ذاكرة معظم الناس انها مجرد مكعب. لا تملك أيا من هندسة الجسم مثل هذا الكمال كما متعدد سطوح العادية. جميع أسماء هذه الهيئات الهندسية نشأت من اليونان القديمة. وهم يمثلون عدد من الوجوه: رباعي الوجوه - أربعة من جانب، المكعب - ألين، المجسم الثماني - المثمن، الثنعشري - dodecahedral، العشروني الوجوه - لذوات الوجوه. كل هذه الجسم الهندسي تحتل مكانا هاما في مفهوم أفلاطون للكون. أربعة منهم تتجسد العناصر أو الكيانات: رباعي الوجوه - النار، والعشروني الوجوه - مكعب الماء - الأرض، المجسم الثماني - الهواء. الثنعشري تتجسد كل شيء. واعتبر الرئيسي، باعتباره رمزا للكون.

تعميم مفهوم متعدد الوجوه

متعدد الوجوه عبارة عن مجموعة محدودة من المضلعات مثل ما يلي:

• كل من الجانبين أي من المضلعات هو في نفس الوقت سوى جانب واحد من المضلع آخر على نفس الجانب.
• من كل من المضلعات يمكنك المشي إلى أخرى عن طريق تمرير المتاخمة لها والمضلعات.

المضلعات التي تشكل متعدد الوجوه تمثل وجوه وعلى الجانب - الأضلاع. القمم المجسمات الثلاثية الأبعاد هي القمم المضلعات. إذا كان المضلع المدى فهم الخطوط المتعددة مغلقة مسطحة، ثم يأتي إلى تعريف واحد للمتعدد الوجوه. في الحالة التي يكون فيها هذا المصطلح يعني جزء من الطائرة التي يحدها من خطوط مكسورة، وسوف يكون مفهوما سطح تتكون من قطع متعددة الأضلاع. ويسمى متعدد الوجوه محدب الجسم ملقاة على جانب واحد من الطائرة، المجاور لجوهه.

تعريف آخر من متعدد الوجوه وعناصرها

دعا متعدد الوجوه سطح تتألف من المضلعات، مما يحد من الجسم الهندسي. وهم:

• غير محدب.
• محدب (الحق والباطل).

مجسم منتظم - هو مجسم محدب مع التماثل القصوى. عناصر من المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية:

• الرباعي السطوح: 6 أضلاعه 4 وجوه 5 القمم.
• المكعب (مكعب) 12، 6، 8؛
• الثنعشري 30، 12، 20؛
• المجسم الثماني 12، 8، 6؛
• العشروني الوجوه 30، 20، 12.

نظرية أويلر

ويضع علاقة بين عدد من الحواف، والقمم وجوه تعادل كرة طبوغرافيا. واضاف ان عدد الرؤوس والوجوه (B + D) لديها متعددات منتظم مختلفة ومقارنتها مع عدد من أضلاعه، فمن الممكن وضع قاعدة واحدة: مجموع عدد من الوجوه مساو لعدد من القمم والحواف (P) بنسبة 2. فمن الممكن اشتقاق صيغة بسيطة:

• B + D = P + 2.

هذه الصيغة هي صالحة لجميع المجسمات الثلاثية الأبعاد محدب.

التعاريف الأساسية

مفهوم متعدد الوجوه العادية هو المستحيل وصف في جملة واحدة. ومن أكثر قيمتها وحجمها. هيئة ليتم الاعتراف بها على هذا النحو، فمن الضروري أن يلتقي عددا من التعاريف. وهكذا، فإن الجسم الهندسي أن يكون متعدد الوجوه العادية عندما يتم استيفاء هذه الشروط:

• هو محدب.
• يتقارب نفس العدد من الأضلاع في كل رؤوسه.
• جميع جوانب حياته - مضلعات منتظمة، على قدم المساواة مع بعضها البعض.
• كل زوايا ثنائي السطح على قدم المساواة.

خصائص المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية

هناك 5 أنواع مختلفة من المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية:

1. مكعب (المكعب) - أنه لديه زاوية عليا مسطحة 90 درجة. أنه يحتوي على زاوية 3 على الوجهين. زوايا كمية وجه في ذروة 270 درجة.
2. رباعي الاسطح - زاوية عليا مسطحة من - 60 درجة. أنه يحتوي على زاوية 3 على الوجهين. زوايا كمية وجه في قمة - 180 درجة.
3. المجسم الثماني - زاوية عليا مسطحة من - 60 درجة. ولها زاوية أربعة من جانب و. زوايا كمية وجه في قمة - 240 درجة.
4. الثنعشري - زاوية عليا مسطحة من 108 درجة. أنه يحتوي على زاوية 3 على الوجهين. زوايا كمية وجه في قمة - 324 درجة.
5. العشروني الوجوه - أن لديها زاوية عليا مسطحة من - 60 درجة. ولها زاوية خمسة من جانب و. زوايا كمية وجه في ذروة 300 درجة.

مجال المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية

يتم حساب المساحة السطحية للهيئات هندسية (S) كمنطقة المضلع العادية مضروبا في عدد من الجوانب (G):

• S = (أ: 2) × 2G CTG π / ص.

حجم مجسم منتظم

يتم احتساب هذه القيمة عن طريق ضرب حجم الهرم المنتظم الذي قاعدته مضلع منتظم، وعدد من الوجوه، وارتفاعه هو دائرة نصف قطرها المدرج في مجال (ص):

• V = 1: 3RS.

أحجام المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية

مثل أي، متعددات الصلبة هندسية أخرى العادية لديها وحدات التخزين المختلفة. وفيما يلي الصيغ التي من خلالها يمكن حساب:

• الرباعي السطوح: α س 3√2: 12؛
• المجسم الثماني: α س 3√2: 3؛
• العشروني الوجوه. α × 3.
• المكعب (مكعب): α × 5 × 3 × (3 + √5): 12؛
• الثنعشري: α × 3 (15 + 7√5): 4.

عناصر من المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية

المكعب والمجسم الثماني هي هيئات هندسية المزدوجة. وبعبارة أخرى، فإنها قد تحصل من بعضها البعض في حال النقطه الوسطى من واحد يؤخذ باعتباره أعلى من غيرها، والعكس بالعكس. أيضا العشروني الوجوه المزدوج والثنعشري. نفسه رباعي الوجوه فقط هو مزدوج. ويمكن وفقا لطريقة إقليدس الحصول عليها من المكعب الثنعشري عن طريق بناء "أسقف" على وجوه المكعب. القمم من رباعي الاسطح هي أي 4 رؤوس المكعب، وليس أزواج المجاورة على طول الحافة. من المكعب (مكعب) يمكن الحصول عليها، والمجسمات الثلاثية الأبعاد العادية الأخرى. على الرغم من أن المضلعات المنتظمة وهناك عدد لا يحصى، متعددات العادية، هناك فقط 5.

كعبرة من مضلعات منتظمة

مع كل هذه الهيئات الهندسية والمجالات المتصلة متحدة المركز 3:

• وصف تمر عبر القمم.
• المدرج المتعلقة بكل وجوهه في وسطها.
• متوسط فيما يتعلق بجميع الحواف في الوسط.

يتم حساب نصف قطر الكرة التي وصفها الصيغة التالية:

• R = أ: 2 × TG π / ز س TG θ: 2.

يتم حساب نصف قطر كرة داخلية على النحو التالي:

• R = أ: 2 × π CTG / ص س TG θ: 2،

حيث θ - زاوية ثنائي السطح الذي هو بين جوانب المجاورة.

ويمكن حساب نصف قطر متوسط المجال باستخدام الصيغة التالية:

• ρ = وكوس π / ص: 2 الخطيئة π / ساعة،

حيث ح = حجم 4.6، 6.10، أو 10. نسبة كعبرة من المدرج وصفها وبشكل متناظر مع الاحترام إلى p و q. وتحسب على النحو التالي:

• R / ص = TG π / ص س TG π / ف.

التماثل من متعددات

التماثل من المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية ذات أهمية أساسية لهذه الهيئات الهندسية. ومن المعلوم أنها حركة الجسم في الفضاء، الأمر الذي يترك نفس العدد من القمم، وجوه وحواف. وبعبارة أخرى، تحت تأثير التماثل التحولات الحافة، قمة الرأس، أو الوجه يحتفظ موضعه الأصلي، أو ينتقل إلى موقف البيت من ضلع آخر، القمم أو وجوه أخرى.

عناصر التماثل من المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية هي مشتركة بين جميع أنواع المواد الصلبة هندسية. هنا يجري على التحول الهوية، الأمر الذي يترك أي من النقاط في موقعها الأصلي. لذلك، عند تشغيل منظور متعدد الأضلاع يمكن الحصول على بعض التماثلات. أي واحد منهم يمكن أن تكون ممثلة كمنتج للتفكير. التماثل، والذي هو نتاج عدد زوجي من الأفكار، ودعا مباشرة. إذا كان هذا هو المنتج من عدد فردي من الأفكار، ومن ثم دعا ردود الفعل. وهكذا، كل المنعطفات حول خط تمثل التماثل التوالي. أي انعكاس متعدد الوجوه - هو التماثل معكوس.

إلى فهم أفضل للعناصر التماثل من متعددات منتظم، يمكنك أن تأخذ مثالا على ذلك رباعي الاسطح. أي الخط الذي سيمر من خلال واحدة من القمم ووسط الشكل الهندسي، ستجري، وذلك من خلال مركز حافة عكس ذلك. كل المنعطفات 120 و 240 درجة حول خط ينتمي إلى تماثل رباعي السطوح الجمع. منذ ذلك 4 القمم وجوه، وحصلنا على ما مجموعه ثمانية التماثلات مباشرة. أي من خطوط تمر عبر وسط حواف ووسط الجسم، فإنه يمر عبر منتصف الحافة المقابلة. أي دوران 180 درجة، ودعا الى نصف بدوره حول التماثل التوالي. منذ رباعي الوجوه ثلاثة أزواج من الأضلاع، وتحصل على ثلاثة خطوط التناظر. بناء على ما سبق، يمكننا أن نستنتج أن العدد الإجمالي للتناظر المباشر، وبما في ذلك التحول الهوية، وسوف يصل الى اثني عشر. لا وجود الآخر التماثل المباشر رباعي الوجوه، لكنه لا يملك 12 التناظر العكسي. ونتيجة لذلك، تتميز فقط 24 التماثلات رباعي الاسطح. من أجل الوضوح، يمكننا أن نبني نموذجا للرباعي الاسطح العادية مصنوعة من الورق المقوى وللتأكد من الجسم الهندسي وحقا سوى 24 التماثل.

الثنعشري والعشروني الوجوه - الأقرب إلى منطقة الجسم. العشروني الوجوه لديها أكبر عدد من الوجوه، وزاوية ثنائي السطح والأهم من ذلك كله يمكن التشبث بإحكام على كرة داخلية. الثنعشري لديه أدنى الزاوي عيب أكبر زاوية الصلبة على قمة الرأس. ويمكن أن تعظيم لملء في المجال مقيدة.

مسح متعددات

مسح المجسمات الثلاثية الأبعاد العادية، التي علينا جميعا تمسك معا في مرحلة الطفولة، لديهم الكثير من المفاهيم. إذا كان هناك مجموعة من المضلعات، يتم تحديد كل جانب منها مع جانب واحد فقط من متعدد الوجوه، وتحديد الأطراف يجب أن تتوافق مع شرطين:

• كل مضلع، يمكنك الذهاب إلى مضلع وجود تحديد الجانب.
• يجب أن يكون الجانب التعرف طول نفس.

وهي عبارة عن مجموعة من المضلعات التي تلبي هذه الشروط، ويسمى مسح متعدد الوجوه. كل من هذه الهيئات لديها العديد منهم. على سبيل المثال، مكعب التي يوجد منها 11 قطعة.